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発熱するマイナー魂

隠れた名作の発掘が生きがい。サブカル作品の感想とIT技術メモ中心のブログです。

どうやら「1+2+3+・・・=−1/12」らしい?!

勉強

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1+2+3+・・・が−1/12らしい、という内容の記事がありました。自然数を無限に足していくのであれば答えは発散するだろうと安直に考えてしまいがちですが、考え方によっては収束するようなのです!


そんな直感的でない答えに驚愕したので、その導出過程をメモしました。ただ、数学は得意ではないので、あくまで僕が納得できる範囲での解説です。(全容を掴むためにはゼータ関数とか解析接続とか、数学に詳しくない人にとっては何ぞそれ?というものを勉強する必要がありそうです)


参照元記事:
数学者「1+2+3+4+5+…=-1/12」 一般人「ファッ!?」


1と−1の加算の繰り返しが1/2に収束するとしたところから、すべてが始まるようだ

S_1=1-1+1-1+\,\cdots= \frac{1}{2}

演算は無限に続いていくのですが、その過程の任意の位置で止めるということを考えます。すると、奇数番目で止めると結果は1だし、偶数番目に止めると結果は0となる。ということは、収束値はその中間の1/2と考えられそうだ。そういうことにしておこう!


次に1−2+3−4+・・・を考える

S_2=1-2+3-4+\,\cdots

という式を考える。そして、この式の足し算S_2 + S_2を考える。すると、前式の2番目の項を後式の1番目に合わせて加算し合えばS_1が現れてくる。

S_2 + S_2=1-2+3-4+\,\cdots\\\hspace{85pt}+ 1 - 2 + 3 - 4\,\cdots

2S_2=1-1+1-1+\,\cdots=S_1

S_2 = \frac{S_1}{2} = \frac{1}{4}


そして本題の1+2+3+・・・を考える

S=1+2+3+4+\,\cdots

として、S - S_2を考える。

S - S_2=1+2+3+4+\,\cdots\\\hspace{50pt}- \{1 - 2 + 3 -4\,\cdots\}

すると、奇数の項同士がうまく打ち消し合って、4の倍数で表せるSが出てくる。

S - S_2=4 + 8 + 12 +\,\cdots=4(1 + 2 + 3 +\,\cdots)=4S

というわけで、右辺と左辺を整理すると、

S=-\frac{S_2}{3}=-\frac{1}{12}

よって、1+2+3+・・・は−1/12に収束する、ような気がします。はー、なんか狐につままれたような感じですね。。